Секрет очень прост, как видно из риунка.

Все дело в том, что выступы и углубления (шпунты и пазы) идут не крестом, как невольно кажется при рассмотрении готовой вещи, а параллельно друг другу в косом направлении. 

2. До половины

Самый простой способ — наклонить бочку так, чтобы вся да дошла до края . Если при этом хоть немного обнаружится дно бочки, значит, вода стояла ниже половины.

Если, наоборот, дно окажется ниже уровня воды — значит, вода была налита больше, чем до половины. И, наконец, если верхний край дна будет как раз на уровне воды, значит, вода налита ровно до половины.

3.Что тяжелее?

Правый куб представим себе состоящим из маленьких кубиков, в каждом из которых помещается шарик. Легко видеть, что большой шар занимает такую же долю целого куба, какую составляет каждый малый шарик от малого кубика.

Число всех малых шариков и кубиков нетрудно определить: 6X6X6 = 216. 216 шариков составляют по объему такую же долю от 216 кубиков, как и один шарик от одного кубика, то есть такую же, как и большой шар от большего куба. Отсюда ясно, что в обоих ящиках содержится одинаковое количество металла и, следовательно, вес их должен быть один и тот же.

4.Путь мухи

Для решения задачи развернем боковую поверхность цилиндрической банки в плоскую фигуру; получим прямоугольник (рис. а), высота которого 20 см, а основание равно окружности банки, то есть 10 X 3 1/7 = 31 1/2 см (без малого). Наметим на этом прямоугольнике положение мухи и медовой капли. Муха — в точке А, на расстоянии 17 см от основания; капля — в точке В, на той же высоте и на расстоянии полуокружности банки от А, то есть в 15 3/4 см.

Чтобы найти теперь точку, в которой муха должна переползти край банки, поступим следующим образом. Из точки В (рис. б) проведем прямую под прямым углом к верхней стороне прямоугольника и продолжим ее на равное расстояние: получим точку С. Эту точку соединим прямой линией с А. Точка D и будет та, где муха должна переползти на другую сторону банки, а путь ADB окажется самым коротким.

Найдя кратчайший путь на развернутом прямоугольнике, свернем его снова в цилиндр и узнаем, как должна бежать муха, чтобы скорее добраться до капли меда (рис. в).

5. Задача Льюиса Кэрролла

6. 35 треугольников